Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.

Конечное поле обычно обозначается или , где — число элементов поля.

Простейшим примером конечного поля является — кольцо вычетов по модулю простого числа p.

Свойства

• Характеристика конечного поля является простым числом.
• Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: .
• Для каждого простого числа и натурального существует конечное поле из элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена .
• Мультипликативная группа конечного поля является циклической группой порядка .
  • В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент , порядок которого равен , то есть и для .
  • Любой ненулевой элемент является некоторой степенью примитивного элемента:

    .

• Поле содержит в себе в качестве подполя тогда и только тогда, когда является делителем .

Примеры

• , где — простое: и так далее.
• , где — главный идеал кольца , порожденный неприводимым многочленом степени .

Построение

Построение поля , где p — простое число, n — натуральное число, начинается с построения его простого подполя (которое совпадает со всем полем при n=1).

• Простое поле строится как кольцо вычетов по модулю , которое в виду простоты не имеет делителей нуля и является полем.

Элементы — числа . Операции проводятся как с обычными целыми числами с приведением результата по модулю .

• Поле при n>1 строится как факторкольцо , где — неприводимый многочлен степени n над полем . Таким образом, для построения поля из элементов достаточно отыскать многочлен степени , неприводимый над полем .

Элементами поля являются все многочлены степени меньшей с коэффициентами из . Арифметические операции (сложение и умножение) проводятся по модулю многочлена , то есть, результат соответствующей операции — это остаток от деления на с приведением коэффициентов по модулю .

Пример построения поля GF(9)

Для построения поля необходимо найти многочлен степени 2, неприводимый над . Такими многочленами являются:

Возьмём, например, , тогда искомое поле есть . Если вместо взять другой многочлен, то получится новое поле, изоморфное старому.

Таблица сложения в GF(9)

Таблица умножения в GF(9)

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
• Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998.

См. также

• Поле
• Группа
• Первообразный корень
• Многочлен над конечным полем