Приведённая система вычетов по модулю m — множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(·) — функция Эйлера.

В качестве приведённой системы вычетов по модулю m обычно берутся взаимно простые с m числа от 1 до m-1.

Группа обратимых элементов кольца вычетов

Приведённая система вычетов с умножением по модулю m образует группу, называемую мультипликативной группой или группой обратимых элементов кольца вычетов по модулю m, которая обозначается или .

Группа циклична тогда и только тогда, когда или или m = 2 или m = 4, где p — нечётное простое число. В общем случае как абелева группа представляется прямым произведением циклических примарных групп, изоморфных . Экспонента группы равна функции Кармайкла (англ.): для нечетных m она равна , а для чётных — в 2 раза меньше.

Пример

Приведённая система вычетов по модулю 10 состоит из 4 классов вычетов: . Относительно определённого для классов вычетов умножения они образуют группу, причём и взаимно обратны (то есть ), а и обратны сами себе.

Ссылки

• Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966.
• Weisstein, Eric W. Modulo Multiplication Group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.