Распределе́ние Лапла́са (двойно́е экспоненциа́льное) — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины, при котором плотность вероятности есть

, ,

где — параметр масштаба, — параметр сдвига.

Функция распределения

По определению функция распределения — это интеграл от плотности распределения:

Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая: и

Проверка свойств полученной функции:

1. не убывает, так как положительна.
2. , следовательно, непрерывна в точке
3. ограничена.
4. Пределы на бесконечностях:

Математическое ожидание и дисперсия

В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал необходимо разбить на и . Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей () рассматриваются пределы вида .

Моменты

Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:

После подстановок пределов интегрирования:

Так как первый интеграл зависит от чётности k рассматриваются два случая: k — чётное и k — нечётное:

Или, в общем виде:

, где — целая часть x.

Характеристическая функция

Оба интеграла находятся, используя формулу Эйлера и классический пример нахождения интегралов вида и (см. Интегрирование по частям:Примеры):

Окончательно характеристическая функция есть:

См.также

• Экспоненциальное разбиение